Jakie są liczby wymierne? Starsi studenci i studenci specjalności matematycznych zapewne z łatwością odpowiedzą na to pytanie. Ale ci, którzy z daleka są z zawodu, będą trudniejsi. Jak to naprawdę jest?

Istota i oznaczenie

Według liczb racjonalnychktóre można przedstawić jako prosty ułamek. Dodatnie, ujemne, a także zero również wchodzą w ten zestaw. Licznik ułamka musi być liczbą całkowitą, a mianownik musi być liczbą naturalną.

Ten zestaw w matematyce jest oznaczony jako Q inazywa się "polem liczb wymiernych". Wprowadzane są wszystkie liczby całkowite i naturalne, oznaczane odpowiednio jako Z i N. Ten sam zbiór Q wchodzi w zestaw R. Jest to litera oznaczająca tak zwane liczby rzeczywiste lub rzeczywiste.

Wprowadzenie

jakie są liczby wymierne

Jak już wspomniano, są to liczby wymierneset, który zawiera wszystkie wartości całkowite i ułamkowe. Mogą być prezentowane w różnych formach. Po pierwsze, w postaci zwykłych ułamków: 5/7, 1/5, 11/15 itd. Oczywiście, liczby całkowite mogą być również zapisane w podobnej formie: 6/2, 15/5, 0/1, - 10/2 itd. Po drugie, inny rodzaj reprezentacji jest ułamkiem dziesiętnym z skończoną częścią ułamkową: 0,01, -15,001006 itd. Jest to prawdopodobnie jedna z najczęściej spotykanych form.

Ale jest też trzecia - okresowa część. Ten rodzaj nie jest bardzo powszechny, ale wciąż jest używany. Na przykład ułamek 10/3 można zapisać jako 3333333 ... lub 3, (3). W takim przypadku różne reprezentacje będą uważane za analogiczne liczby. Równoważne frakcje, na przykład 3/5 i 6/10, będą również wywoływane. Wydaje się, że stało się jasne, jakie są racjonalne liczby. Ale po co używać tego terminu do ich oznaczenia?

Pochodzenie nazwy

Słowo "racjonalne" we współczesnym rosyjskimw ogólnym przypadku ma nieco inne znaczenie. Jest raczej "rozsądny", "celowy". Ale terminy matematyczne są bliskie bezpośredniemu znaczeniu tego pożyczonego słowa. W języku łacińskim "stosunek" to "relacja", "ułamek" lub "dzielenie". Tak więc nazwa odzwierciedla istotę tego, jakie są liczby racjonalne. Jednak druga wartość

Liczby racjonalne są
nie daleko od prawdy.

Działania z nimi

Przy rozwiązywaniu problemów matematycznych nieustanniespotykamy liczby wymierne, nie wiedząc o tym sami. I mają wiele interesujących właściwości. Wszystkie z nich wynikają z definicji zestawu lub z działań.

Po pierwsze, liczby wymierne mają tę właściwośćstosunki porządku. Oznacza to, że pomiędzy dwiema liczbami może istnieć tylko jedna relacja - są one równe sobie nawzajem lub jedna jest większa lub mniejsza od drugiej. E.:

albo a = b; albo a> b, albo a <b.

Ponadto właściwość ta implikuje również przechodniość relacji. To znaczy, jeśli a więcej niż b, b więcej niż c, a następnie a więcej niż c. W języku matematyki wygląda to tak:

(a> b) ^ (b> c) => (a> c).

Po drugie, są operacje arytmetyczne zliczby wymierne, to znaczy dodawanie, odejmowanie, dzielenie i, oczywiście, mnożenie. W procesie tym można również wyróżnić wiele właściwości w procesie transformacji.

działania z liczbami wymiernymi

  • a + b = b + a (zmiana miejsca terminów, komutatywność);
  • 0 + a = a + 0;
  • (a + b) + c = a + (b + c) (asocjatywność);
  • a + (-a) = 0;
  • ab = ba;
  • (ab) c = a (bc) (dystrybucja);
  • a x 1 = 1 x a = a;
  • a x (1 / a) = 1 (tutaj, a nie jest równe 0);
  • (a + b) c = ac + ab;
  • (a> b) ^ (c > 0) => (ac> bc).

Jeśli chodzi o zwykłe, a nieułamki dziesiętne, ułamki zwykłe lub całkowite, działania z nimi mogą powodować pewne trudności. Tak więc dodawanie i odejmowanie są możliwe tylko wtedy, gdy mianowniki są równe. Jeśli są początkowo inne, powinieneś znaleźć wspólny, używając mnożenia całego ułamka przez pewne liczby. Porównanie jest również najczęściej możliwe tylko pod warunkiem spełnienia tego warunku.

Podział i mnożenie zwykłych frakcjisą wykonane zgodnie z dość prostymi zasadami. Zmniejszenie do wspólnego mianownika nie jest konieczne. Liczniki i mianowniki są mnożone oddzielnie, podczas gdy w trakcie wykonywania działania, jeśli to możliwe, ułamek powinien być zminimalizowany i maksymalnie uproszczony.

Jeśli chodzi o podział, akcja ta jest podobna do pierwszej z niewielką różnicą. Dla drugiej frakcji znajdź odwrotność

liczby wymierne
"włącz". Zatem licznik pierwszej frakcji będzie musiał zostać pomnożony przez drugi mianownik i na odwrót.

Wreszcie inna właściwość związana z racjonalnościąliczby, nazywany jest aksjomatem Archimedesa. Często w literaturze występuje również nazwa "zasada". Jest on ważny dla całego zestawu liczb rzeczywistych, ale nie wszędzie. Tak więc zasada ta nie ma zastosowania do pewnych zestawów racjonalnych funkcji. W gruncie rzeczy aksjomat ten oznacza, że ​​jeśli występują dwie wielkości aib, zawsze można przyjąć wystarczającą liczbę a, aby przekroczyć b.

Zakres zastosowania

Tak więc ci, którzy nauczyli się lub pamiętali, co jestLiczby wymierne, staje się jasne, że są one używane wszędzie: w księgowości, ekonomii, statystyce, fizyce, chemii i innych naukach. Oczywiście, mają także swoje miejsce w matematyce. Nie zawsze wiedząc, że mamy do czynienia z nimi, stale używamy liczb wymiernych. Wciąż małe dzieci, uczące się liczenia przedmiotów, dzielenia jabłka na kawałki lub wykonywania innych prostych czynności, stają przed nimi. Dosłownie otaczają nas. Niemniej jednak nie są one wystarczające do rozwiązania niektórych problemów, w szczególności na przykładzie twierdzenia Pitagorasa można zrozumieć konieczność wprowadzenia pojęcia liczb nieracjonalnych.

</ p>